Hệ thống số thực ( R ; + ; ⋅ ; < ) {\displaystyle (\mathbf {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})} có thể được định nghĩa theo tiên đề qua một đẳng cấu, sẽ được mô tả sau đây. Cũng có nhiều cách để xây dựng "hệ thống" số thực, ví dụ, bắt đầu từ số tự nhiên, sau đó xác định số hữu tỉ theo đại số và cuối cùng xác định số thực là các lớp tương đương của chuỗi Cauchy của chúng hoặc như cắt Dedekind, mà là các tập con nhất định của số hữu tỉ. Một khả năng khác là bắt đầu từ một số tiên đề nghiêm ngặt của hình học Euclide (Hilbert, Tarski, v.v.) và sau đó xác định hệ thống số thực về mặt hình học. Tất cả các cấu trúc của các số thực đã được chứng minh là tương đương, do các hệ thống số kết quả của các định nghĩa khác nhau là đẳng cấu với nhau.